クォータニオンの積(外積)

クォータニオンの乗算は外積を意味するらしい。
クォータニオンの乗算は可換ではない。(順番を変えたら結果が変わるってこと)
クォータニオンの外積は、複数の角変位を連結することだ。
乗算の順番は、左から右(DirectXの場合)で、角変位が適用される順番に対応する。
これは、四元数の乗算の標準的な定義から逆行している。

数式

(1)
\begin{align} A_w=B_wC_w-B_xC_x-B_yC_y-B_zC_z\\ A_x=B_wC_x+B_xC_w+B_yC_z-B_zC_y\\ A_y=B_wC_y-B_xC_z+B_yC_w+B_zC_x\\ A_z=B_wC_z+B_xC_y-B_yC_x+B_zC_w\\ \end{align}

なぜこうなるのか?
クォータニオンの虚数成分の性質から導き出せる。

(2)
\begin{align} \tilde{B}\tilde{C}=(B_w+IB_x+JB_y+KB_z)(C_w+IC_x+JC_y+KC_z) \end{align}

まとめると

(3)
\begin{align} (w_{1},\mathbf{v_1})(w_{2},\mathbf{v_2})= (w_{1}w_{2}-\mathbf{v_1}\cdot \mathbf{v_2},w_1\mathbf{v_2}+w_2\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}\times \mathbf{v_1}) \end{align}

四元数の積の逆数は、順序を逆にした逆数の積と等しい。

つまり、四元数をかけざんすれば、複数の回転を連結させることができるということ。

(4)
\begin{equation} (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \end{equation}
(5)
\begin{align} p'=n(apa^{-1})b^{-1}\\ =(ba)p(a^{-1}b^{-1})\\ =(ba)p(ba)^{-1}\\ \end{align}
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