線分と平面の交点

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線分(立方体の辺)と平面の交点

(1)
\begin{align} n_p \cdot x = d \end{align}

Eq.(1)はヘッセの標準形[1]

  • d….視点と平面との距離
  • $n_p$….平面の法線ベクトル。
  • x….平面上の任意の点(この場合、立方体の辺上の点、つまり平面と線分の交点になる)
  • $v_i$…線分の端点その1
  • $v_j$…線分の端点その2
(2)
\begin{align} x= v_i + \lambda(v_i - v_j)= v_i + \lambda e_{i-j} \end{align}

立方体の辺上にある点はEq.(2)のように表現できる。

  • $e_{i-j}$….頂点$v_i$と頂点$v_j$を結ぶ辺を表す。

$0.0 < \lambda < 1.0$の場合、辺上に点がある。

(3)
\begin{align} n_p \cdot (v_ + \lambda e_{i-j})=d \end{align}

Eq.(1のxにEq.(2)を代入すると式3のようになる。
これを、$\lambda=$の形にすると次式のようになる。

(4)
\begin{align} \lambda = \frac{d- n_p \cdot v_i}{n_p \cdot e_{i-j}} \end{align}

$n_p \cdot e_{i-j}=0$になるときは、辺(線分)と平面が完全に平行の時である。

Bibliography

cube plane

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