直交行列

orthogonal-matrix.png

定義

行列と転置行列の積が恒等行列(Identity Matrix)であるもの。

正規直交行列は、逆行列と転置行列が等しい行列となる。

これは大変オトクな情報。
逆行列の計算はコストが高い。
直交行列だとわかってしまえば簡単に逆行列が求まるのだ。
しかも、3Dグラフィックスにおいては、直交行列は頻繁に現れるらしい。
しかし、
スケーリングやせん断変形、並行移動などの回転以外の変換が混じっていると正規直行ではなくなるので、
姿勢を行列で持つ場合はそれらと回転成分とは分けておいた方が便利です。

(1)
\begin{equation} A^{t}A=1 \end{equation}

直交行列のdeterminantは1である。

(2)
\begin{equation} |detA|=1 \end{equation}

もし直交行列Aについて

(3)
\begin{equation} detA=1 \end{equation}

が成り立つとき、行列「A」を特殊直交行列と呼ぶ。
コンピュータグラフィックスで使用する「回転行列」は(2次元でも3次元でも)特殊直交行列である。

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