3x3の逆行列

invertmatrix-3x3.png
(1)
\begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ h&i&j\\ \end{pmatrix}

Step1.行列式detを求める

サラスの公式を参考にすると結果こうなります
aej+bfh+dic-ceh-fia-bdj

いざ、逆行列の公式

一般的に、逆行列の成分の公式はこうです。
ここで
Mijをi行j列を除いた2x2行列の行列式という意味とします。
それを±互い違いに、市松模様のように埋めていきます。

(2)
\begin{align} \frac{1}{det} \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} e&f\\ h&i\\ \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} d&f\\ g&i\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} d&e\\ g&h\\ \end{vmatrix} \\ - \begin{vmatrix} b&c\\ h&i\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a&c\\ g&i\\ \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a&b\\ g&h\\ \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} b&c\\ e&f\\ \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a&c\\ d&f\\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a&b\\ d&e\\ \end{vmatrix} \end{pmatrix} \end{align}

2x2の逆行列はad-bcです。

(3)
\begin{align} \frac{1}{aej+bfh+dic-ceh-fia-bdj} \begin{pmatrix} ei-fh&-(di-fg)&dh-eg \\ -(bi-ch)&ai-cg&-(ah-bg)\\ bf-ce&-(af-cd)&ae-bd\end{pmatrix} \end{align}

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