ガウスの消去法

gaussian-elimination.png

C.F.Gauss-W.Jordan
こんな連立一次方程式があったとする。

(1)
\begin{align} A\vec{x}=\vec{b} \end{align}

知りたいのは$\vec{x}$

(2)
\begin{align} \vec{x}=A^{-1}\vec{b} \end{align}

ガウスの消去法で求めるにはまず、Aと$\vec{b}$をくっつけた行列を作る。

(3)
\begin{align} (A,\vec{b})=\left( \begin{array}{cccc|c} a_{11}&a_{}&...&a_{1n}&b_{1}\\ a_{21}&a_{}&...&a_{2n}&b_{2}\\ \vdots &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}&b_{n}\\ \end{array} \right) \end{align}

これに対して単位行列になるまで行に関する基本変形を行うと$b$のあった場所に解$x$が現れる。

(4)
\begin{align} \left( \begin{array}{cccc|c} 1&0&\cdots&0&x_{1}\\ 0&1&...&0&x_{2}\\ \vdots &\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&...&1&x_{n}\\ \end{array} \right)=(I,\vec{x}) \end{align}

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