行列式

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3Dにおける行列式

3Dでは、行列式は基底ベクトルを3辺とした平行六面体の符号付き体積です。
行列式が負になる場合は、オブジェクトが裏返った場合である。

行列式は、行列による座標変換の結果生じる面積(2D)または体積(3D)の変化に関係し、行列式の富豪はリフレクションや投影が行列に含まれているかを示します。
行列式が0なら、行列は投影を含んでいる。
行列式が負なら、リフレクション(鏡影)を含んでいる。

定義

行列Aがあるとする。

(1)
\begin{align} \sum_{\sigma \in S_{n}} sgn(\sigma) a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}.....a_{n\sigma(n)} \end{align}

$a_{i\sigma(i)}$は行列Aの各行から1つずつ取り出した成分である。
$\sigma$置換である。

列ベクトル、行ベクトルの逆行列

これには裏ワザがあります。

(2)
\begin{align} det[a b c] = a \cdot (b \times c) \end{align}

なぜこうなるのかについては三重積のページへ


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