クラメルの公式

cramer.png

連立方程式の解を簡単に求められる便利な方法

(1)
\begin{align} M\vec{v}=\vec{p}\\ \begin{pmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ h&i&j\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x\\v_y\\v_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_x\\p_y\\p_z \end{pmatrix} \end{align}

$\vec{v}$が未知だった場合、クラメルの方式に従うと答えはこうなります

(2)
\begin{align} v_x=\frac{det \begin{pmatrix} p_x&b&c\\ p_y&e&f\\ p_z&i&j\\ \end{pmatrix} }{det|M|}\\ v_y=\frac{det \begin{pmatrix} a&p_x&c\\ d&p_y&f\\ h&p_z&j\\ \end{pmatrix} }{det|M|}\\ v_z=\frac{ det \begin{pmatrix} a&b&p_x\\ d&e&p_y\\ h&i&p_z\\ \end{pmatrix} }{det|M|} \end{align}

さらにここから

(3)
\begin{align} det[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \end{align}

という三重積を利用すると更に簡単に解けます

Bibliography

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