1次元のガウス関数

1d-gaussian.png
(1)
\begin{align} y=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \frac{-(x-\mu )^2}{2\sigma^2} \end{align}
$\mu$ 平行移動。山のてっぺんの位置
$\sigma$ 山の高さと広がり具合

$\sigma$について

$\sigma$ 1.0にするとx方向に±4広がり、山の高さは約0.4(=0.3989422804)になる。
山の高さをちょうど1.0にするには$\sigma = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$にする。
$\sigma$ の値が小さいほど狭くて高い山になる
$\sigma$ の値が大きいほど低くてなだらかな山になる

詳細

まずは把握するために
$\sigma=1$,$\mu=0$で考えて見ましょう
式はこうなります

(2)
\begin{align} y=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e ^{\frac{x^2}{2}} \end{align}

ちなみに

(3)
\begin{align} y=e ^{\frac{-x^2}{2}} \end{align}
のグラフはこうなります
exx.png
ちなみに(4)
\begin{equation} e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 … \end{equation}

です
そして

(5)
\begin{align} \sqrt{2\pi} = 2.50662827463\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi} } = 0.3989422804 \end{align}

$x=0$の時

(6)
\begin{align} y=e ^{\frac{-0^2}{2}}= 1.0 \end{align}

なので

(7)
\begin{align} y=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e ^{\frac{0^2}{2}}\\ =0.3989422804 \times 1.0 \end{align}

で大体0.4の山になるのです。

gnuplotでの式

Gauss(x,mu,sigma) = 1./(sigma*sqrt(2*pi)) * exp( -(x-mu)**2 / (2*sigma**2) )
Bibliography

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